Opcje walutowe i produkty strukturyzowane 1 Opcje walutowe i produkty strukturyzowane Uwe aukcja 7 kwietnia 2006 3 Spis treści 0 Przedmowa Zakres niniejszej książki Czytelnicy O autorze Podziękowania Biuletyny Opcje wymiany walutowej Podróż przez historię opcji Zagadnienia techniczne dotyczące opcji wanilii Wartość Uwaga na temat Perspektywy greckich tożsamości Zgodności z homogenicznością Relacje z ofertą Zderzenie z warunkami delikatności zmienności warunkowej delikatności i delikatności wobec buntowniczych Greków w warunkach deltasowej Zmienność Historyczna lotność Zgodność z historyczną korelacyjnością Uśmiech Zaufanie na poziomie pieniądza Interpolacja Zmienność Uśmieszki Konwencje At-The - Definicja pieniądza Interpolacja zmienności na filarach dojrzałych Interpolacja zmienności Spread pomiędzy dojrzałymi filarami Zmienność Źródła Zmienność Stożki Niestabilność stochastyczna 4 4sięwiczenia Podstawowe strategie zawierające opcje wanilii Zadzwoń i umieść ryzyko rozłożenia Ryzyko odwrócenia Odwrócenia Odwrócenie kłębka Motyl Seagull Ćwiczenia Pierwsze G enoterapia Exotics Opcje barierowe Opcje cyfrowe, opcje dotykowe i rabaty Związki i instalacje Opcje opcji wyszukiwania azjatyckich opcji Opcje przewijania do przodu, opcje krążków i kluczy Opcje zasilania Opcje dotyczące kwantu Ćwiczenia Second Generation Exotics Korytarze Fadery Egzotyczne opcje bariery Opcje wypłaty później Opcje krok po kroku i krok po kroku Opcje Rozłożenie i Opcje wymiany Opcje najlepszych i najgorszych opcji Opcje i naprzód na harmonijce średniej wariancji i wahań wahań Ćwiczenia Produkty strukturalne Przekazywanie produktów Przekraczanie w przód Przekazywanie uczestnictwa Przekazywanie fade-in Przekazywanie przodem Przeniesienie do przodu Rekonstrukcja Fader Shark Forward 5 Opcje walutowe i produkty strukturyzowane Butterfly Forward Zakres Forward Range Accrual Forward Skumulowany Forward Bumerang Forward Amortizing Forward Automatyczne odnawianie Do przodu Dwukrotnie Shark Forward Forward Start Wybieracz Do przodu Wolny Styl Skok Do przodu Spotkorzystany Spotforward Time Opcja Ćwiczenia Strategie Shark Forward Seria Collar Extra Series Ćwiczenia Zaliczki i Kredyty Podwójne Depozyt walutowyWykonywanie depozytów z konsorcjum Depozyty z tunelu Depozyt z kinem DepozytDokumentacja depozytuWirtualny depozytDokolna depozytowa kasa depozytowaOgólna depozytowa depozytowa depozytowa depozytowa depozytowa depozytu w dolarach Depozytowa kwota depozytów w dolarachWyniki kursów walutowych i walutowych Przelewy walutowe Przelewy walutowe Przelewy walutowe Przelew walutowy w turze walutowej Buffered Cross Swap Przelew Swap Korytarz Swap Dwukanałowy przełącznik Swap Zresetuj Zwiń Swap Kosz Spread Swap Ćwiczenia Udział w programie Uwagi Złoty udział w konkursie Uwaga związana z koszykiem Emitent Swap Ruch strajku Turbo Point Unlimited 6 6 Wystup 2.6 Produkty hybrydowe FX Sprawy praktyczne Handlarz Zasada Thumb Koszt obserwacji Vanna i Volga Kontrola spójności Skróty dotyczące współczynnika kompensacji eksotek pierwszej generacji Skutki odwracania ryzyka , Motyle i teoretyczna cena Barierowanie cen Opcje cen Podwójna bariera Opcje cenowe Podwójne-Niepokojące Opcje Wycena Opcje Stylów Europejskich Niepewność Prawdopodobieństwo Koszt obrotu i jego wpływ na cenę rynkową opcji Onetouch Przykłady dalszych ćwiczeń Zadania Zadaj pytanie Spr eads One Touch Spready Rozmieszcza Rozmieszczenie Antynikowe dla Pierwotnej Generacji Exotics Minimalne Zapytanie Poproś o Poproście Zapytaj o cenę Rozliczenia Ćwiczenia Model Czarno Scholesa dla Rzeczywistego Rozliczenia Rozliczenia Rozliczenia Nierzeczywistego Rozliczenia Rozliczeniowe Rozliczenia Rozliczeniowe z Rozliczeniami Rozliczeniowymi Opłatami Rozliczeniowymi Opłat Oprocentowanych Procedura analizy banków centralnych w Europie i analizy wypłaty Analiza szacunków błędów Analiza koniunktury EUR-USD 7 Opcje walutowe i produkty strukturyzowane 7 4 Rachunkowość zabezpieczeń w ramach MSR Wstęp Omówienie instrumentów finansowych Definicja ogólna Aktywa finansowe Zobowiązania finansowe Kompensowanie aktywów finansowych i zobowiązań finansowych Instrumenty pochodne Instrumenty finansowe Pochodne wbudowane Derivatives Klasyfikacja instrumentów finansowych Ocena instrumentów finansowych Uruchomienie wstępne Początkowy pomiar Następujący pomiar Pominięcie rachunkowości zabezpieczeń Omówienie Rodzaje żywopłotów Podstawowe wymagania Zatrzymywanie metod rachunkowości zabezpieczeń dla Testi ng Efektywność Hedgingowa Wartość godziwa Hedge Cash Flow Testowanie skuteczności - Case Study symulacji Forward Plus Symulacja kursów walut Obliczanie wartości Forward Plus Obliczanie Forward Rate Obliczanie prognozowanych transakcji s Wartość Stosunek Offsetu - Prospektywny Test dla Skuteczność Zmniejszenie odsetek - prospektywny test na analizę regresji skuteczności - prospektywny test na skuteczność wyników Retrospektywny test na skuteczność Podsumowanie Istotne źródła źródłowe dla standardów rachunkowości Ćwiczenia 8 8 Wystup 5 Rynki walutowe Przegląd przez oświadczenie rynkowe grupy GFI (Fenics), 25 Październik Wywiad z firmą ICY, 14 października Wywiad z Bloombergiem, 12 października Wywiad z Murex, 8 listopada Wywiad z SuperDerivatives, 17 października Wywiad z Lucht Probst Associates, 27 lutego Wymagania dotyczące oprogramowania i systemów Fenics Pozycja Utrzymanie cen w prosty sposób poprzez przetwarzanie Oświadczenia Handlowanie i sprzedaż Prop rietary Trading Sprzedaż-Driven Trading Inter Bank Dział sprzedaży Oddział Sprzedaż Instytucjonalna Sprzedaż korporacyjna Bankowość Prywatna Wybrane opcje walutowe Dżokeja handlowa 9 Rozdział 0 Przedmowa 0,1 Zakres tej księgi Zarządzanie finansami zagranicznych korporacji polega na obsłudze przepływów pieniężnych w różnych walutach. Dlatego naturalna obsługa banku inwestycyjnego składa się z rozmaitych rynków pieniężnych i produktów walutowych. Ta książka wyjaśnia najbardziej popularne produkty i strategie, skupiając się na wszystko poza opcjami wanilii. Wyjaśnia on wszystkie opcje walutowe, wspólne struktury i dostosowane do indywidualnych potrzeb rozwiązania w przykładach, ze szczególnym uwzględnieniem aplikacji z widokami ze strony przedsiębiorców i sprzedaży, a także z perspektywy klientów korporacyjnych. Zawiera rzeczywiście transakcje z odpowiednimi motywacjami wyjaśniając, dlaczego struktury zostały sprzedane. W ten sposób czytelnik ma poczucie, jak budować nowe struktury dostosowane do potrzeb klientów. Ćwiczenia mają ćwiczyć materiał. Kilka z nich jest trudnych do rozwiązania i może służyć jako bodźce do dalszego badania i testowania. Rozwiązania ćwiczeń nie są częścią tej książki, ale zostaną opublikowane na stronie internetowej książki, 0.2 Warunkiem wstępnym czytelnictwa jest podstawowa wiedza na temat rynków walutowych, na przykład pochodząca z Book Foreigner Primer przez Shami Shamah, Wiley 2003, patrz 90. Czytelnicy docelowi to absolwenci studiów i Wydział Inżynierii Finansowych, którzy mogą wykorzystać tę książkę jako podręcznik do kursu o nazwie produktów strukturyzowanych lub egzotycznych opcji walutowych. 9 10 10 Wystawców, konstruktorzy stażystów, programiści ds. Sprzedaży, sprzedaż i quants z zainteresowaniem linią produktów FX. Dla nich może służyć jako źródło pomysłów, a także przewodnik. Skarbnicy korporacji zainteresowanych zarządzaniem książkami. Dzięki tej książce można samodzielnie sformatować swoje rozwiązania. Czytelnicy bardziej zainteresowani aspektami ilościowymi i modelującymi zaleca się czytać ryzyko walutowe autorstwa J. Hakali i U. Wystup, Risk Publications, Londyn, 2002, zob. 50. Ta książka wyjaśnia kilka egzotycznych opcji walutowych ze szczególnym uwzględnieniem podstawowych modeli i matematyki, ale nie zawiera żadnych struktur, klientów korporacyjnych czy inwestorów. 0.3 O autorze Rysunek 1: Uweeksup, profesor finansów ilościowych w HfB Business School of Finance and Management we Frankfurcie, Niemcy. Uweughtup jest także dyrektorem generalnym MathFinance AG, globalnej sieci quants specjalizującej się w finansowaniu ilościowym, doradztwie opcji egzotycznych i produkcji oprogramowania Front Office. Wcześniej był inżynierem finansowym i konstruktorem w zespole ds. Transakcji opcji walutowych w Commerzbank. Wcześniej pracował dla Deutsche Bank, Citibank, UBS i Sal. Oppenheim jr. amp Cie jest założycielem i kierownikiem serwisu MathFinance. de oraz Biuletynu MathFinance. Uwe posiada doktorat z matematyki finansów z Carnegie Mellon University. Wykłada również na temat matematyki finansowej na Uniwersytecie Goethego w Frankfurcie, organizuje Kolokwium Frankfurckiego Frankfurtu i jest dyrektorem założycielem Frankfurckiego Instytutu MathFinance. Od wielu lat prowadzi seminaria dotyczące egzotycznych opcji, modelowania finansowego i modelowania zmienności. Jego specjalizacją są aspekty ilościowe i projektowanie produktów strukturyzowanych zagranicznych rynków walutowych 11 FX Options i Structured Products 11. Opublikował książkę o zagranicznym ryzyku walutowym oraz artykuły w dziedzinie finansów i stochastów oraz w Dzienniku Pochodzeń. Uwe dał wiele prezentacji zarówno w uczelniach, jak i bankach na całym świecie. Więcej informacji na temat jego życiorysu i szczegółowej publikacji można znaleźć pod adresem: 0,4 Podziękowanie chciałbym podziękować moim byłym kolegom z handlarza, a przede wszystkim Gustave Rieunier, Behnouch Mostachfi, Noel Speake, Roman Stauss, Tamaacutes Korchmaacuteros, Michael Braun, Andreas Weber, Tino Senge, Juumlrgen Hakala i wszyscy moi koledzy i współautorzy, szczególnie Christoph Becker, Susanne Griebsch, Christoph Kuumlhn, Sebastian Krug, Marion Linck, Wolfgang Schmidt i Robert Tompkins. Chris Swain, Rachael Wilkie i wiele innych publikacji Wiley zasługują na szacunek, ponieważ zajmują się dość wolną prędkością w tej książce. Nicole van de Locht i Choon Peng Toh zasługują na medal za poważne szczegółowe przeczytanie dowodów. 13 Rozdział 1 Opcje walutowe FX Structured Products to dopasowane liniowo kombinacje opcji walutowych, w tym opcje wanilii i egzotycznych. Rekomendujemy książkę Shamah 90 jako źródło informacji o rynkach walutowych, koncentrując się na konwencjach rynkowych, umowach spot, forwardach i swapach, opcji wanilii. W celu ustalenia cen i modelowania egzotycznych opcji FX proponujemy Hakala i Wystup 50 lub Lipton 71 jako przydatne towarzyszące tej książce. Rynek produktów strukturyzowanych jest ograniczony do obrotu niezbędnymi składnikami. W związku z tym, zazwyczaj są to głównie produkty strukturyzowane sprzedawane parami walutowymi, które można utworzyć między USD, JPY, EUR, CHF, GBP, CAD i AUD. W tym rozdziale rozpoczynamy krótką historię opcji, a następnie sekcję techniczną dotyczącą opcji i niestabilności wanilii i zajmujemy się powszechnie stosowanymi kombinacjami liniowymi opcji wanilii. Następnie zilustrujemy najważniejsze składniki dla produktów strukturyzowanych typu FX: egzotyka pierwszego i drugiego pokolenia. 1.1 Podróż przez historię opcji Pierwsze opcje i kontrakty futures były sprzedawane w starożytnej Grecji, kiedy sprzedano oliwki, zanim dotarły do dojrzałości. Od tego czasu rynek ewoluował w następujący sposób. XVI wiek W Turcji uprawiano tulipany z XV wieku, które były lubiane ze względu na ich egzotyczny wygląd. Szef królewskich ogrodów medycznych w Wiedniu, Austria, był pierwszym, który z powodzeniem rozwija te tureckie tulipany w Europie. Kiedy uciekł do Holandii z powodu prześladowań religijnych, wziął te żarówki. Jako nowy szef ogrodów botanicznych w Leiden w Holandii kultywował kilka nowych szczepów. To właśnie z tych ogrodów ochłodzeni kupcy ukradli żarówki, aby je zoptymalizować, ponieważ tulipany były wielkim symbolem statusu. XVII wiek Pierwsze futures na tulipanach były przedmiotem obrotu w 1634 roku, ludzie mogli 13 14 14kupup kupować specjalne szczepy tulipana ciężarem ich żarówek, gdyż żarówki wybrano taką samą wartość jak dla złota. Oprócz regularnego handlu, spekulanci wchodzili na rynek i ceny wzrosły. Żarówka szczepu Semper Octavian była warta dwóch wagonów pszenicy, czterech kilogramów żyta, czterech tłuszczowych wołów, ośmiu tłuszczu trzody chlewnej, dwanaście owiec tłuszczowych, dwóch winogron wina, czterech beczek piwa, dwóch baryłek masła, 1000 funtów sera , jedno łóżko małżeńskie z pościelą i jeden wielki wagon. Ludzie opuszczali rodziny, sprzedali wszystkie rzeczy, a nawet pożyczali pieniądze, aby stać się handlowcami tulipanów. Gdy w 1637 r. Upadł ten rzekomo wolny od ryzyka rynek, handlowcy i osoby prywatne upadły. Rząd zabronił handlu spekulacyjnego okres ten stał się sławny jako Tulipmania. XVIII wiek W 1728 r. Royal West-Indian i Gwinea Company, monopolista w handlu z wyspami Karaibów i wybrzeżem Afryki, wydała pierwsze opcje na akcje. Były to opcje zakupu francuskiej wyspy Ste. Croix, na którym zaplanowano plantacje cukru. Projekt zrealizowano w 1733 r., A papierowe papiery wartościowe zostały wydane. Wraz z zapasem, ludzie kupili względny udział wyspy i kosztowności, jak również przywileje i prawa spółki. XIX wiek W 1848 r. 82 członków założyło zarząd Chicago Board of Trade (CBOT). Dzisiaj jest to największy i najstarszy rynek kontraktów terminowych na świecie. Większość dokumentów pisanych została utracona w świetle pożaru w 1871 r., Jednak powszechnie uważa się, że pierwsze standaryzowane kontrakty futures były sprzedawane w momencie, gdy CBOT prowadzi obecnie kilka kontraktów futures i forwardów, nie tylko obligacji skarbowych i obligacji skarbowych, ale także opcji i złota. W 1870 roku powstała New York Cotton Exchange. W 1880 roku wprowadzono złoty standard. XX wiek W 1914 roku złoty standard został porzucony z powodu wojny. W 1919 roku giełda Chicago Produce Exchange, zajmująca się handlem produktami rolnymi została przemianowana na Chicago Mercantile Exchange. Dziś jest to najważniejszy rynek terminowy dla Eurodolar, wymiany walutowej i inwentarza żywego. W 1944 r. Wprowadzono system Bretton Woods w celu ustabilizowania systemu walutowego. W 1970 roku system Bretton Woods został porzucony z kilku powodów. W 1971 r. Wprowadzono Porozumienie Smithsonii dotyczące stałych kursów walutowych. W 1972 r. Międzynarodowy rynek walutowy (IMM) dokonywał transakcji na kontraktach terminowych na monety, waluty i metale szlachetne. 15 Opcje walutowe i produkty strukturyzowane 15 XXI wiek W 1973 r. CBOE (rada giełdowa w Chicago) po raz pierwszy sprzedały opcje kupna cztery lata później również wprowadziły opcje. Porozumienie Smithsonii zostało porzucone, a waluty podążały za płynnym ruchem. W 1975 r. CBOT sprzedawał pierwszą przyszłość stóp procentowych, pierwszą nie zawierającą rzeczywistych aktywów bazowych. W 1978 r. Na holenderskim rynku akcji notowane były pierwsze standardowe instrumenty finansowe. W 1979 r. Wprowadzono Europejski System Walutowy, wprowadzono Europejską Jednostkę Walutową (ECU). W 1991 r. Podpisano Traktat z Maastricht w sprawie wspólnej waluty i polityki gospodarczej w Europie. W 1999 r. Wprowadzono Euro, ale kraje nadal wykorzystywały gotówkę ze swoich starych walut, a kursy wymiany zostały utrzymane. W 2002 r. Euro wprowadzono jako nowe pieniądze w postaci gotówki. 1.2 Zagadnienia techniczne dotyczące opcji wanilii Uwzględniamy model geometrycznego ruchu Browna (tzn. T) (tzn. T) (tzn.) Dla podstawowego kursu walutowego podanego w FOR-DOM (obcego), co oznacza, że jedna jednostka waluta obca kosztuje jednostki FOR-DOM w walucie krajowej. W przypadku EUR-USD z miejscem na. oznacza to, że cena jednego EUR to USD. Pojęcie zagraniczne i krajowe nie odnosi się do lokalizacji podmiotu handlującego, ale tylko do tej konwencji notowań. Oznacza się (ciągłą) stopę procentową zagraniczną rf i (ciągłą) krajową stopę procentową rd. W scenariuszu kapitałowym rf stanowiłby stałą stopę dywidend. Zmienność jest określana przez sigma, a W t jest standardowym ruchem Browna. Ścieżki próbek są wyświetlane na rysunku 1.1. Uważamy, że ten standardowy model, nie dlatego, że odzwierciedla statystyczne właściwości kursu walutowego (w rzeczywistości nie jest to), ale dlatego, że jest on powszechnie stosowany w praktyce i systemach biurowych, a przede wszystkim służy jako narzędzie do komunikowania cen w opcjach walutowych . Ceny te są ogólnie podane w kategoriach zmienności w tym modelu. Zastosowanie reguły Itocirc do ln S daje następujące rozwiązanie dla procesu S t S t S 0 exp sigma2) t sigmaw t, (1.2), który pokazuje, że S t jest rozkładem normalnie logicznym, dokładniej, ln S t jest normalny ze średnią ln S 0 (rdrf 1 2 sigma2) t i wariancję sigma 2 t. Dalsze założenia modelu to 16 16 Wystup Rysunek 1.1: Symulowane ścieżki geometrycznego ruchu Browna. Rozkład miejsca S T w czasie T jest log-normalny. 1. Nie ma arbitrażu 2. Handel jest bezwartościowy, nie ma kosztów transakcji 3. Każda pozycja może być w dowolnym momencie, krótka, długa, arbitralna frakcja, brak ograniczeń płynności Wypłata wynagrodzenia za opcję wanilii (europejski wkład lub telefon) przez F phi (s TK), (1.3), gdzie parametrami umownymi są uderzenie K, czas wygaśnięcia T i typ phi, zmienna binarna, która przyjmuje wartość 1 w przypadku połączenia, a 1 w przypadku położyć. Symbol x oznacza dodatnią część x, tzn. X max (0, x) 0 x Wartość W modelu Black-Scholesa wartość wypłaty F w czasie t, jeśli punkt jest x jest oznaczony przez v (t, x ) i można je obliczyć albo jako rozwiązanie różniczkowe cząstkowe Black-Scholesa równanie vtrdv (rdrf) xv x sigma2x2xxx0, (1.4) v (t, x) F. (1.5 ) lub równoważnie (Feynman-Kac-Twierdzenie) jako zdyskontowaną oczekiwaną wartość funkcji zwrotu, v (x, k, t, t, sigma, rd, rf, phi) erf dtau IEF. (1.6) Z tego powodu podstawowa inżynieria finansowa zajmuje się przede wszystkim rozwiązywaniem częściowych równań różniczkowych lub oczekiwań obliczeniowych (integracja numeryczna). Rezultatem jest wzór Black-Scholes'a Skracamy skrót v (x, K, t, t, sigma, r d, rf, phi) phie r dtau fn (phid) KN (phid). (1,7) x: aktualna cena podstawowego tau T t: czas do zapadalności f IES T S t t x xe (r d r f) tau. cena z góry podstawowej tektury plusa rdrf sigma plusmn sigma 2 d plusmn ln x K sigmatheta plusmntau sigma tau ln f k plusmn sigma 2 2 tau sigma tau n (t) 1 2pi e 1 2 t2 n (t) n (x) xn (t) dt 1 N (x) Wzór Black-Scholesa można wyprowadzić przy użyciu całkowitej reprezentacji równania (1.6) verdtau IEF e rdtau IEphi (STK) tausigma tauy K) n (y) dy. (1.8) Następnie trzeba poradzić sobie z pozytywną częścią, a następnie wypełnić kwadrat, aby otrzymać wzór Black-Scholesa. Wyprowadzenie oparte na równaniu różniczkowym cząstkowym może być wykonane przy użyciu wyników dotyczących dobrze zbadanego równania cieplnego. 18 Prognoza f jest strajkem, który powoduje, że zerowa wartość kontraktu terminowego F S T f (1,9) jest równa zeru. Wynika stąd, że cena docelowa to oczekiwana cena instrumentu bazowego w czasie T w konfiguracji neutralnej z ryzykiem (dryf geometrycznego ruchu Browna jest równy kosztom przewozu rd). Sytuacja nazywana jest contango, a sytuacja nazywana jest do tyłu. Zauważmy, że w modelu Black Scholesa klasa krzywych cen na rynku jest dość ograniczona. Na przykład nie można uwzględnić żadnych efektów sezonowych. Warto zauważyć, że wartość kontraktu terminowego po zerze czasowej zazwyczaj różni się od zera, a ponieważ jeden z kontrahentów jest zawsze krótki, może wystąpić ryzyko niewywiązania się ze spłaty. Kontrakt terminowy zapobiega tej niebezpiecznej sprawie: jest to w zasadzie kontrakty terminowe, ale kontrahenci muszą mieć rachunek marginesowy, aby zapewnić, że kwota gotówki lub towaru nie przekracza określonego limitu Grecy Grecy są pochodnymi funkcji wartości w odniesieniu do modelu i parametry kontraktu. Są to ważne informacje dla przedsiębiorców i stały się standardowymi informacjami dostarczanymi przez systemy front-office. Więcej szczegółów na temat Greków i stosunków między Grekami prezentowane są w: Hakala i Wystup 50 lub Reiss andkupup 84. Dla opcji wanilii wymieniamy teraz niektóre z nich. (Spot) Delta. v x phie r f tau N (phid) (1.10) Delta do przodu. Bezmiar Delta. v f phie r dtau N (phid) (1.11) phin (phid) (1.12) Gamma. 2 typy tau n (d) x 2 xsigma tau (1,13) 19 opcje walutowe i produkty strukturalne 19 prędkość. 3 v x 3 e r f tau n (d) x 2 sigma tau () d sigma tau 1 (1,14) teta. (fid) (rdtau) N (phid) (1.15) Urok. 2 x tau phir f e r f tau N (phid) phie r f tau n (d) 2 (r d r f) tau d sigma tau 2tausigma tau (1.16) Kolor. 3 v x 2 tau e r f tau n (d) 2xtausigma tau 2r f tau (r d r f) tau d sigma tau 2tausigma d tau (1.17) Vega. v sigma xe rf tau taun (d) (1.18) Volga. 2 v sigma 2 xe rf tau taun (d) d d sigma (1.19) Wołga jest czasami nazywana vomma lub volgamma. Vanna. 2 x sigma x e r f tau n (d) d sigma (1.20) Rho. V r d phiktaue rdtau N (phid) (1.21) v r f phixtaue r f tau N (phid) (1.22) 20 20 Wystup Dual Delta. Podwójna Gamma. v Kfie r dtau N (phid) (1.23) 2 v e r dtau n (d) K 2 Ksigma tau (1.24) Dual Theta. v T vt (1.25) Tożsamość Złożoność parytetowa jest zależnością d plusmn d (1.26) sigma sigma d plusmn tau (1.27) rd sigma d plusmn tau (1.28) rf sigma xe rf tau n (d) ke rdtau n (d). (1.29) N (phid) IP phis T fik (1.30) N (phid) IP phis T fi f2 (1.31) K v (x, K, T, t, sigma, rd, rf, 1) v (x, K, T, t, sigma, rd, rf, 1) xe rf tau Ke r dtau, (1.32), co jest bardziej skomplikowanym sposobem na zapisanie trywialnego równania xx x. Interpretacja trójstopniowa typu put-call wynosi v (x, K, t, t, sigma, r d, rf, 1) x v (x, K, t, t, sigma, r d, r f 1) x e r f tau. (1.33) W szczególności dowiadujemy się, że wartość bezwzględna delty delta i delta wywołania nie są dokładne do jednego, ale tylko do liczby dodatniej e r f tau. Dodają one około jednego, jeśli czas zwrotu tau jest krótszy lub jeśli stopa oprocentowania rf jest bliska zeru. 21 Opcja walutowa i produkty strukturyzowane 21, podczas gdy wybór K f generuje identyczne wartości dla połączeń i wprowadzania, szukamy strajku deltasymetrycznego, który wytwarza bezwzględnie delty (punkt, do przodu lub bez opadów). Warunek ten implikuje d 0, a więc fe sigma2 2 T, (1.34), w którym to przypadku delta bezwzględna jest erf tau 2. W szczególności dowiadujemy się, że zawsze gt f, tj. Nie może być put i wywołanie z identycznymi wartościami i delty. Należy pamiętać, że strajk jest zwykle wybierany jako strajk środkowy podczas handlu straddle lub motyl. Podobnie obieg strajku podwójnego delta-symetrycznego fe sigma2 2 T może pochodzić z warunku d Zależności oparte na jednorodności Możemy chcieć zmierzyć wartość podstawy w innej jednostce. To oczywiście wpływa na formułę wyceny opcji w następujący sposób. (x, K, t, t, sigma, rd, rf, phi) v (ax, ak, t, t, sigma, rd, rf, phi) dla wszystkich gt 0. (1.35) Zróżnicowanie obu stron z szacunkiem do a, a następnie ustalenie 1 rentowności v xv x Kv K. (1.36) Porównując współczynniki x i K w równaniach (1.7) i (1.36) prowadzi do sugestywnych wyników dla delta vx i podwójnego delta v. jednorodność jest powodem prostoty wzorów delta, których żmudne obliczenia można zapisać w ten sposób. Możemy wykonać podobne obliczenia dla parametrów czasowych i uzyskać jasne równanie v (x, K, t, t, sigma, rd, rf, phi) v (x, K, t a, ta, asigma, ar d , ar f, phi) dla wszystkich gt 0. (1.37) Zróżnicowanie obu stron względem a, a następnie ustawienie 1 wydajności 0 tauv t sigmav sigma rdv rd rfv rf. (1.38) Oczywiście, można to sprawdzić również poprzez bezpośrednie obliczenia. Ogólnym wykorzystaniem takich równań jest generowanie podwójnych testów porównawczych podczas obliczania Greków. Te jednorodne metody mogą być łatwo rozszerzone na inne bardziej złożone opcje. Przez symetrię put-call rozumiemy związek (zob. 6, 7,16 i 19) v (x, K, t, t, sigma, rd, rf, 1) K fv (x, f 2 K, T, t, sigma, rd, rf, 1). (1.39) 22 22 Wystup Strajk w strajku i strajku wywołania skutkuje średnią geometryczną równą f Przód można interpretować jako lustro geometryczne odzwierciedlające wezwanie w pewną liczbę stołów. Zauważmy, że dla opcji pieniężnych (Kf) symetria typu "put-call" zbieżna jest ze szczególnym przypadkiem parytetu put-call, gdzie wywołanie i put mają taką samą wartość. Bezpośrednie obliczenia wykazują, że współczynniki symetrii v v tauv (1,40) r dr f utrzymują się na wanilii. Ten związek ma w istocie wszystkie europejskie opcje i szeroką gamę opcji zależnych od ścieżki, jak pokazano na rysunku 84. Można bezpośrednio sprawdzić relację symetrii zagranicznej 1 xv (x, k, t, t, sigma, rd , rf, phi) Kv (1 x, 1 K, T, t, sigma, rf, rd, phi). (1.41) Ta równość może być postrzegana jako jedna z twarzy symetrii put-call. Powodem jest to, że wartość opcji można obliczyć zarówno w scenariuszu krajowym, jak iw obcym. Uwzględniamy przykład modelowania kursu EURUSD. W Nowym Jorku opcja call (STK) kosztuje v (x, K, t, t, sigma, r usd, r eur, 1) USD, a więc v (x, K, t, t, sigma, r usd, r eur, 1) x () 1. EUR. Ta opcja EUR-call może być również postrzegana jako opcja USD-put z wypłatą K 1 KST Opcja ta kosztuje we Frankfurcie koszty Kv (1, 1, T, t, sigma, rs K eur, r, us), ponieważ S t i 1 S t mają tę samą lotność. Oczywiście wartość New York i wartość Frankfurtu muszą się zgodzić, co prowadzi do (1.41). Dowiemy się później, że ta symetria jest tylko jednym z możliwych wyników opartych na zmianie numeraire'a Oferta referencyjna równania kursowego (1,1) jest modelem kursu walutowego. Cytat to zagadnienie trwale mylące, więc wyjaśnij to tutaj. Kurs walutowy oznacza, ile krajowej waluty jest potrzebny do zakupu jednej jednostki waluty obcej. Na przykład, jeśli weźmiemy kurs EURUSD jako kurs walutowy, domyślnym kursem jest EUR-USD, gdzie USD to krajowa waluta, a EUR to waluta obca. Termin krajowy nie jest w żaden sposób powiązany z lokalizacją przedsiębiorcy lub kraju. To tylko oznacza walutę numeraire. Terminy waluta krajowa, numeraery lub waluta podstawowa są synonimami takimi, jakimi są zagraniczne i leżące u podstaw. W tej książce oznaczamy ukośnikiem () parę walutową i znakiem (-) cytat. Slash () nie oznacza podziału. Na przykład EURUSD można również podać w EUR-USD, co oznacza, ile USD potrzeba, aby kupić jeden EUR lub w USD-EUR, co oznacza, ile EUR potrzebuje kupić jeden USD. Istnieją pewne standardowe notowania rynkowe wymienione w tabeli 1.1. 23 Opcje walutowe i produkty strukturyzowane 23 para walutowa domyślna oferta cenowa przykładowa wycena GBPUSD GPB-USD GBP CHF GBP-CHF EURUSD EUR-USD EURGBP EUR-GBP EURJPY EUR-JPY EUR CHF EUR-CHF USDJPY USD-JPY USDCHF USD-CHF Tabela 1.1: Rynek standardowy notowania głównych par walutowych z przykładowymi cenami spotowymi Pośredni kurs językowy Nazywamy milionem złotówki, miliard stoczni. Dzieje się tak, ponieważ miliardy nazywa się miliarde w językach francuskim, niemieckim i innych. Dla funta brytyjskiego jeden milion jest również często nazywany kwitem. Niektóre pary walutowe mają nazwy. Na przykład GBPUSD nazywa się kablami, ponieważ informacje o kursie były wysyłane za pośrednictwem kabla w Oceanie Atlantyckim między Ameryką a Anglią. EURJPY nazywa się krzyżem, ponieważ jest to kurs krzyżowy płynniejszego obrotu USDJPY i EURUSD. Niektóre waluty zawierają też nazwy, np. Dolar nowozelandzki NZD nazywany jest kiwi, dolar australijski AUD nazywa się austriacką walutą skandynawską DKR, NOK i SEK nazywa się Scandies. Kursy wymiany są na ogół podawane do pięciu istotnych liczb, np. Ostatnia cyfra 5 nazywa się pip, średnia cyfra 3 nazywa się dużą liczbą, ponieważ kursy wymiany są często wyświetlane na podłodze handlowym, a duża cyfra, która jest wyświetlana w większych rozmiarach, jest najbardziej istotnymi informacjami. Cyfry pozostawione wielkiej sylwetce są jednak znane, a prawa pipsy dużej postaci są często nieznaczne. Aby jasno określić, wzrost o 20 pipsów będzie wynosił 20 pipsów, a wzrost o 2 duże dane będzie dotyczył cen ofertowych. Wartości i ceny opcji wanilii można podać w sześciu sposobach wyjaśnionych w tabeli 1.2. 24 24dostępny symbol symbolu wartości w jednostkowych jednostkowych pieniądzach krajowych d DOM 29,148 USD zagranicznych środków pieniężnych f FOR 24,290 EUR d domowych DOM na jednostkę DOM USD w walutach obcych FOR na jednostkę FOR EUR pipsów krajowych d pipsów DOM na jednostkę EUR za pipsy na EUR zagraniczne pipsy F pips FOR na jednostkę DOM Pipsy EUR na USD Tabela 1.2: Standardowe typy notowań rynkowych dla wartości opcji. W przykładzie przyjmujemy FOREUR, DOMUSD, S 0. r d 3.0, rf 2.5, sigma 10, K. T 1 rok, phi 1 (dzwonienie), nominalne 1, 000, 000 EUR 1, 250, 000 USD. W przypadku pestek, notowanie pułapów USD na EUR jest czasami określane jako USD za 1 EUR. Podobnie pipsy EUR na USD mogą być również podawane jako EUR za 1 USD. Formuła Black-Scholes cytuje dipy. Pozostałe można obliczyć za pomocą następującej instrukcji. d pips 1 S 0 S 0 1 f K S d 0 S p pipsy 0 K d pipsy (1.42) Konwencja Delta i Premium Zwykła opcja europejska bez premii jest dobrze znana. Teraz będzie nazywany raw spot delta delta raw. Można ją podać w jednej z dwóch walut. Relacja jest delta odwrotnej surowej delta surowej S K. (1.43) Delta jest używany do kupna lub sprzedaży spot w odpowiedniej wysokości, aby zabezpieczyć opcję do pierwszego zamówienia. Dla spójności premia musi zostać uwzględniona w zabezpieczeniu delta, ponieważ premia w walucie obcej już zabezpiecza część ryzyka delta opcji. Aby to jasne, rozważyć EUR-USD. W standardowej teorii arbitrażu v (x) oznacza wartość lub premię w dolarach amerykańskich z opcją o wartości nominalnej 1 EUR, jeśli punkt jest w punkcie x, a surowa delta vx oznacza liczbę EUR, która ma zostać kupiona w celu zabezpieczenia delta. Dlatego xv x jest liczbą USD do sprzedaży. Jeśli teraz premia jest wypłacana w EUR, a nie w USD, to mamy już vx EUR, a kwota EUR na zakup musi zostać pomniejszona tą kwotą, tzn. Jeśli EUR to waluta premium, musimy kupić vxvx EUR za zabezpieczenie delta lub równoważna sprzedaż xv xv USD. 25 Opcja walutowa i produkty strukturyzowane 25 Cała historia transakcji walutowych staje się ogólnie bałaganem, ponieważ musimy najpierw ustalić, która waluta jest krajowa, która jest obca, jaka jest waluta walutowa opcji, a jaką walutą premium. Niestety nie jest to symetryczne, ponieważ odpowiednik może mieć inny pojęcie o walucie krajowej dla danej pary walutowej. Stąd na profesjonalnym rynku międzybankowym jest jeden pojęcie delta na parę walutową. Zwykle jest to delta po lewej stronie ekranu Fenics, jeśli opcja jest sprzedawana w premie premium po lewej stronie, która zwykle jest standardową i prawą stroną delta, jeśli jest przedmiotem obrotu z prawicową premią, np. EURUSD lhs, USDJPY lhs, EURJPY lhs, AUDUSD rhs, itd. Ponieważ opcje OTM są sprzedawane przez większość czasu, różnica nie jest ogromna, a zatem nie powoduje ogromnego ryzyka spot. Dodatkowo standardowa delta na parę walutową po lewej stronie delty w Fenics w większości przypadków jest wykorzystywana do wyceny opcji w zmienności. To musi być określone przez walutę. To standardowe pojęcie banków musi być dostosowane do rzeczywistego ryzyka delta banku dla zautomatyzowanego systemu obrotu. W przypadku walut, w których wolna od ryzyka bank jest walutą podstawową waluty, jest oczywiste, że delta jest surową deltą opcji, a dla premii ryzykownej ta premia musi zostać uwzględniona. In the opposite case the risky premium and the market value must be taken into account for the base currency premium, such that these offset each other. And for premium in underlying currency of the contract the market-value needs to be taken into account. In that way the delta hedge is invariant with respect to the risky currency notion of the bank, e. g. the delta is the same for a USD-based bank and a EUR-based bank. Example We consider two examples in Table 1.3 and 1.4 to compare the various versions of deltas that are used in practice. delta ccy prem ccy Fenics formula delta EUR EUR lhs delta raw P EUR USD rhs delta raw USD EUR rhs flip F4 (delta raw P )SK USD USD lhs flip F4 (delta raw )SK Table 1.3: 1y EUR call USD put strike K for a EUR based bank. Market data: spot S . volatility sigma 12, EUR rate r f 3.96, USD rate r d 3.57. The raw delta is 49.15EUR and the value is 4.427EUR. 26 26 Wystup delta ccy prem ccy Fenics formula delta EUR EUR lhs delta raw P EUR USD rhs delta raw USD EUR rhs flip F4 (delta raw P )SK USD USD lhs flip F4 delta raw SK Table 1.4: 1y call EUR call USD put strike K for a EUR based bank. Market data: spot S . volatility sigma 12, EUR rate r f 3.96, USD rate r d 3.57. The raw delta is 94.82EUR and the value is 21.88EUR Strike in Terms of Delta Since v x phie r f tau N (phid ) we can retrieve the strike as K x exp . (1.44) Volatility in Terms of Delta The mapping sigma phie r f tau N (phid ) is not one-to-one. The two solutions are given by sigma plusmn 1 tau(d d ). (1.45) tau Thus using just the delta to retrieve the volatility of an option is not advisable Volatility and Delta for a Given Strike The determination of the volatility and the delta for a given strike is an iterative process involving the determination of the delta for the option using at-the-money volatilities in a first step and then using the determined volatility to re determine the delta and to continuously iterate the delta and volatility until the volatility does not change more than 0.001 between iterations. More precisely, one can perform the following algorithm. Let the given strike be K. 1. Choose sigma 0 at-the-money volatility from the volatility matrix. 2. Calculate n1 (Call(K, sigma n )). 3. Take sigma n1 sigma( n1 ) from the volatility matrix, possibly via a suitable interpolation. 4. If sigma n1 sigma n lt , then quit, otherwise continue with step 2. 27 FX Options and Structured Products 27 In order to prove the convergence of this algorithm we need to establish convergence of the recursion n1 e r f tau N (d ( n )) (1.46) ( e r f ln(sk) tau (rd r f 1 ) 2 N sigma2 ( n ))tau sigma( n ) tau for sufficiently large sigma( n ) and a sufficiently smooth volatility smile surface. We must show that the sequence of these n converges to a fixed point 0, 1 with a fixed volatility sigma sigma( ). This proof has been carried out in 15 and works like this. We consider the derivative The term n1 e r f tau n(d ( n )) d ( n ) n sigma( n ) sigma( n ). (1.47) n e r f tau n(d ( n )) d ( n ) sigma( n ) converges rapidly to zero for very small and very large spots, being an argument of the standard normal density n. For sufficiently large sigma( n ) and a sufficiently smooth volatility surface in the sense that n sigma( n ) is sufficiently small, we obtain sigma( n ) n q lt 1. (1.48) Thus for any two values (1) n1, (2) n1, a continuously differentiable smile surface we obtain (1) n1 (2) n1 lt q (1) n (2) n, (1.49) due to the mean value theorem. Hence the sequence n is a contraction in the sense of the fixed point theorem of Banach. This implies that the sequence converges to a unique fixed point in 0, 1, which is given by sigma sigma( ) Greeks in Terms of Deltas In Foreign Exchange markets the moneyness of vanilla options is always expressed in terms of deltas and prices are quoted in terms of volatility. This makes a ten-delta call a financial object as such independent of spot and strike. This method and the quotation in volatility makes objects and prices transparent in a very intelligent and user-friendly way. At this point we list the Greeks in terms of deltas instead of spot and strike. Let us introduce the quantities phie r f tau N (phid ) spot delta, (1.50) phie r dtau N (phid ) dual delta, (1.51) 28 28 Wystup which we assume to be given. From these we can retrieve Interpretation of Dual Delta d phin 1 (phie r f tau ), (1.52) d phin 1 ( phie r dtau ). (1.53) The dual delta introduced in (1.23) as the sensitivity with respect to strike has another - more practical - interpretation in a foreign exchange setup. We have seen in Section that the domestic value v(x, K, tau, sigma, r d, r f, phi) (1.54) corresponds to a foreign value v( 1 x, 1 K, tau, sigma, r f, r d, phi) (1.55) up to an adjustment of the nominal amount by the factor xk. From a foreign viewpoint the delta is thus given by ( ) phie rdtau N phi ln( K ) (r x f r d sigma2 tau) sigma tau ( phie rdtau N phi ln( x ) (r K d r f 1 ) 2 sigma2 tau) sigma tau , (1.56) which means the dual delta is the delta from the foreign viewpoint. We will see below that foreign rho, vega and gamma do not require to know the dual delta. We will now state the Greeks in terms of x, . r d, r f, tau, phi. Wartość. (Spot) Delta. v(x, . r d, r f, tau, phi) x x e r f tau n(d ) e r dtau n(d ) (1.57) Forward Delta. v f v x (1.58) e (r f r d )tau (1.59) 29 FX Options and Structured Products 29 Gamma. 2 v e r f tau n(d ) x 2 x(d d ) (1.60) Taking a trader s gamma (change of delta if spot moves by 1) additionally removes the spot dependence, because Gamma trader x 2 v e r f tau n(d ) 100 x 2 100(d d ) (1.61) Speed. 3 v e r f tau n(d ) x 3 x 2 (d d ) (2d 2 d ) (1.62) Theta. 1 v x t e r f tau n(d )(d d ) 2tau e r f tau n(d ) r f r d e r dtau n(d ) (1.63) Charm. Color. Vega. Volga. 2 v x tau 3 v x 2 tau phir f e r f tau N (phid ) phie r f tau n(d ) 2(r d r f )tau d (d d ) 2tau(d d ) (1.64) e r f tau n(d ) 2r f tau (r d r f )tau d (d d ) d 2xtau(d d ) 2tau(d d ) (1.65) v sigma xe r f tau taun(d ) (1.66) 2 v sigma 2 xe r f tau taun(d ) d d d d (1.67) 30 30 Wystup Vanna. 2 v sigma x e r f tau taud n(d ) (1.68) d d Rho. Dual Delta. v e rf tau n(d ) xtau (1.69) r d e r dtau n(d ) v xtau (1.70) r f v K (1.71) Dual Gamma. K 2 2 v K 2 x 2 2 v x 2 (1.72) Dual Theta. v T v t (1.73) As an important example we consider vega. Vega in Terms of Delta The mapping v sigma xe r f tau taun(n 1 (e r f tau )) is important for trading vanilla options. Observe that this function does not depend on r d or sigma, just on r f. Quoting vega in foreign will additionally remove the spot dependence. This means that for a moderately stable foreign term structure curve, traders will be able to use a moderately stable vega matrix. For r f 3 the vega matrix is presented in Table Volatility Volatility is the annualized standard deviation of the log-returns. It is the crucial input parameter to determine the value of an option. Hence, the crucial question is where to derive the volatility from. If no active option market is present, the only source of information is estimating the historic volatility. This would give some clue about the past. In liquid currency 31 FX Options and Structured Products 31 Mat 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1D W W M M M M M Y Y Y Table 1.5: Vega in terms of Delta for the standard maturity labels and various deltas. It shows that one can vega hedge a long 9M 35 delta call with 4 short 1M 20 delta puts. pairs volatility is often a traded quantity on its own, which is quoted by traders, brokers and real-time data pages. These quotes reflect views of market participants about the future. Since volatility normally does not stay constant, option traders are highly concerned with hedging their volatility exposure. Hedging vanilla options vega is comparatively easy, because vanilla options have convex payoffs, whence the vega is always positive, i. e. the higher the volatility, the higher the price. Let us take for example a EUR-USD market with spot. USD - and EUR rate at 2.5. A 3-month at-the-money call with 1 million EUR notional would cost 29,000 USD at at volatility of 12. If the volatility now drops to a value of 8, then the value of the call would be only 19,000 USD. This monotone dependence is not guaranteed for non-convex payoffs as we illustrate in Figure Historic Volatility We briefly describe how to compute the historic volatility of a time series S 0, S 1. S N (1.74) 32 32 Wystup Figure 1.2: Dependence of a vanilla call and a reverse knock-out call on volatility. The vanilla value is monotone in the volatility, whereas the barrier value is not. The reason is that as the spot gets closer to the upper knock-out barrier, an increasing volatility would increase the chance of knock-out and hence decrease the value. of daily data. First, we create the sequence of log-returns Then, we compute the average log-return r i ln S i S i 1, i 1. N. (1.75) r 1 N N r i, (1.76) i1 33 FX Options and Structured Products 33 their variance and their standard deviation circsigma 2 1 N 1 N (r i r) 2, (1.77) i1 circsigma 1 N (r i r) N 1 2. (1.78) The annualized standard deviation, which is the volatility, is then given by circsigma a B N (r i r) N 1 2, (1.79) where the annualization factor B is given by i1 i1 B N d, (1.80) k and k denotes the number of calendar days within the time series and d denotes the number of calendar days per year. The is done to press the trading days into the calendar days. Assuming normally distributed log-returns, we know that circsigma 2 is chi 2 - distributed. Therefore, given a confidence level of p and a corresponding error probability alpha 1 p, the p-confidence interval is given by N 1 N 1 circsigma a, circsigma chi 2 a, (1.81) N 11 chi 2 alpha N 1 alpha 2 2 where chi 2 np denotes the p-quantile of a chi 2 - distribution 1 with n degrees of freedom. As an example let us take the 256 ECB-fixings of EUR-USD from 4 March 2003 to 3 March 2004 displayed in Figure 1.3. We get N 255 log-returns. Taking k d 365, we obtain r 1 N r i . N i1 circsigma a B N (r i r) N 1 2 10.85, i1 and a 95 confidence interval of 9.99, 11.89. 1 values and quantiles of the chi 2 - distribution and other distributions can be computed on the internet, e. g. at 34 34 Wystup EURUSD Fixings ECB Exchange Rate 403 4403 5403 6403 7403 8403 9403 Date 10403 11403 12403 1404 2404 Figure 1.3: ECB-fixings of EUR-USD from 4 March 2003 to 3 March 2004 and the line of average growth Historic Correlation As in the preceding section we briefly describe how to compute the historic correlation of two time series x 0, x 1. x N, y 0, y 1. y N, of daily data. First, we create the sequences of log-returns Then, we compute the average log-returns X i ln x i x i 1, i 1. N, Y i ln y i y i 1, i 1. N. (1.82) X 1 N 1 N N X i, i1 N Y i, (1.83) i1 35 FX Options and Structured Products 35 their variances and covariance circsigma X 2 circsigma Y 2 circsigma XY and their standard deviations circsigma X circsigma Y 1 N 1 1 N 1 1 N 1 N (X i X) 2, (1.84) i1 N (Y i )2, (1.85) i1 N (X i X)(Y i ), (1.86) i1 1 N (X i N 1 X) 2, (1.87) i1 1 N (Y i N 1 )2. (1.88) i1 The estimate for the correlation of the log-returns is given by circrho circsigma XY circsigma X circsigma Y. (1.89) This correlation estimate is often not very stable, but on the other hand, often the only available information. More recent work by Jaumlkel 37 treats robust estimation of correlation. We will revisit FX correlation risk in Section Volatility Smile The Black-Scholes model assumes a constant volatility throughout. However, market prices of traded options imply different volatilities for different maturities and different deltas. We start with some technical issues how to imply the volatility from vanilla options. Retrieving the Volatility from Vanilla Options Given the value of an option. Recall the Black-Scholes formula in Equation (1.7). We now look at the function v(sigma), whose derivative (vega) is The function sigma v(sigma) is v (sigma) xe r f T T n(d ). (1.90) 36 36 Wystup 1. strictly increasing, 2. concave up for sigma 0, 2 ln F ln K T ), 3. concave down for sigma ( 2 ln F ln K T, ) and also satisfies v(0) phi(xe r f T Ke r dt ) , (1.91) v(, phi 1) xe r f T, (1.92) v(sigma , phi 1) Ke r dt, (1.93) v (0) xe r f T T 2piII , (1.94) In particular the mapping sigma v(sigma) is invertible. However, the starting guess for employing Newton s method should be chosen with care, because the mapping sigma v(sigma) has a saddle point at ( ) 2 T ln F K, phie r dt F N phi 2T ln FK KN phi 2T ln KF , (1.95) as illustrated in Figure 1.4. To ensure convergence of Newton s method, we are advised to use initial guesses for sigma on the same side of the saddle point as the desired implied volatility. The danger is that a large initial guess could lead to a negative successive guess for sigma. Therefore one should start with small initial guesses at or below the saddle point. For at-the-money options, the saddle point is degenerate for a zero volatility and small volatilities serve as good initial guesses. Visual Basic Source Code Function VanillaVolRetriever(spot As Double, rd As Double, rf As Double, strike As Double, T As Double, type As Integer, GivenValue As Double) As Double Dim func As Double Dim dfunc As Double Dim maxit As Integer maximum number of iterations Dim j As Integer Dim s As Double first check if a volatility exists, otherwise set result to zero If GivenValue lt Application. Max (0, type (spot Exp(-rf T) - strike Exp(-rd T))) Or (type 1 And GivenValue gt spot Exp(-rf T)) Or (type -1 And GivenValue gt strike Exp(-rd T)) Then 37 FX Options and Structured Products 37 Figure 1.4: Value of a European call in terms of volatility with parameters x 1, K 0.9, T 1, r d 6, r f 5. The saddle point is at sigma 48. VanillaVolRetriever 0 Else there exists a volatility yielding the given value, now use Newton s method: the mapping vol to value has a saddle point. First compute this saddle point: saddle Sqr(2 T Abs(Log(spot strike) (rd - rf) T))Your Search: 1 eBooks Search Engine We are pleased to introduce our wonderful site where collected the most remarkable books of the best authors. Tylko w jednym miejscu razem najlepsze bestsellery dla was drodzy przyjaciele. Możesz rozwijać swoją wiedzę i umiejętności, pobierając nasze książki i przewodniki. Jesteśmy pewni, że będziesz cieszyć się naszym wspaniałym projektem i sprawi, że twoje życie trochę lepiej. Nasza baza danych jest codziennie aktualizowana, biorąc najlepsze, co istnieje na świecie. Czy jesteś fanem klasycznego detektywa, a może lubisz powieści lub po prostu profesjonalny handlowiec, analityk, ekonomista, lekarz, żołnierz, prawnik, programista, inżynier, elektryk, fizyk, astrolog, budowniczy, chemik, montaż, agent ubezpieczeniowy . od Ciebie znajdziesz magazyn wiedzy wymagany do perfekcji lub po prostu cieszyć się czasem spędzonym z Twoim najlepszym przyjacielem pod imieniem książki. Będzie nam bardzo miło z wami. fr es de no nl da jp ar ro sv zh Możliwe przyczyny: Wprowadzona karta kredytowa może mieć niewystarczające fundusze. Numer karty kredytowej lub numer CVV nie został prawidłowo wprowadzony. Twój bank wystawiający nie był w stanie dopasować daty CVV lub daty ważności do dostarczonej karty kredytowej. Wprowadzony adres rozliczeniowy nie odpowiada adresowi rozliczeniowemu na karcie kredytowej. Podana karta kredytowa jest już w użyciu. Try using another card. FX Options and Structured Products 1 FX Options and Structured Products Uwe Wystup 7 April 2006 3 Contents 0 Preface Scope of this Book The Readership About the Author Acknowledgments Foreign Exchange Options A Journey through the History Of Options Technical Issues for Vanilla Options Value A Note on the Forward Greeks Identities Homogeneity based Relationships Quotation Strike in Terms of Delta Volatility in Terms of Delta Volatility and Delta for a Given Strike Greeks in Terms of Deltas Volatility Historic Volatility Historic Correlation Volatility Smile At-The-Money Volatility Interpolation Volatility Smile Conventions At-The-Money Definition Interpolation of the Volatility on Maturity Pillars Interpolation of the Volatility Spread between Maturity Pillars Volatility Sources Volatility Cones Stochastic Volatility 4 4 Wystup Exercises Basic Strategies containing Vanilla Options Call and Put Spread Risk Reversal Risk Reversal Flip Straddle Strangle Butterfly Se agull Exercises First Generation Exotics Barrier Options Digital Options, Touch Options and Rebates Compound and Instalment Asian Options Lookback Options Forward Start, Ratchet and Cliquet Options Power Options Quanto Options Exercises Second Generation Exotics Corridors Faders Exotic Barrier Options Pay-Later Options Step up and Step down Options Spread and Exchange Options Baskets Best-of and Worst-of Options Options and Forwards on the Harmonic Average Variance and Volatility Swaps Exercises Structured Products Forward Products Outright Forward Participating Forward Fade-In Forward Knock-Out Forward Shark Forward Fader Shark Forward 5 FX Options and Structured Products Butterfly Forward Range Forward Range Accrual Forward Accumulative Forward Boomerang Forward Amortizing Forward Auto-Renewal Forward Double Shark Forward Forward Start Chooser Forward Free Style Forward Boosted SpotForward Time Option Exercises Series of Strategies Shark Forward Series Collar Extra Series Exercises D eposits and Loans Dual Currency DepositLoan Performance Linked Deposits Tunnel DepositLoan Corridor DepositLoan Turbo DepositLoan Tower DepositLoan Exercises Interest Rate and Cross Currency Swaps Cross Currency Swap Hanseatic Swap Turbo Cross Currency Swap Buffered Cross Currency Swap Flip Swap Corridor Swap Double-No-Touch linked Swap Range Reset Swap Basket Spread Swap Exercises Participation Notes Gold Participation Note Basket-linked Note Issuer Swap Moving Strike Turbo Spot Unlimited 6 6 Wystup 2.6 Hybrid FX Products Practical Matters The Traders Rule of Thumb Cost of Vanna and Volga Observations Consistency check Abbreviations for First Generation Exotics Adjustment Factor Volatility for Risk Reversals, Butterflies and Theoretical Value Pricing Barrier Options Pricing Double Barrier Options Pricing Double-No-Touch Options Pricing European Style Options No-Touch Probability The Cost of Trading and its Implication on the Market Price of Onetouch Options Example Further Application s Exercises Bid Ask Spreads One Touch Spreads Vanilla Spreads Spreads for First Generation Exotics Minimal Bid Ask Spread Bid Ask Prices Exercises Settlement The Black-Scholes Model for the Actual Spot Cash Settlement Delivery Settlement Options with Deferred Delivery Exercises On the Cost of Delayed Fixing Announcements The Currency Fixing of the European Central Bank Model and Payoff Analysis Procedure Error Estimation Analysis of EUR-USD Conclusion 7 FX Options and Structured Products 7 4 Hedge Accounting under IAS Introduction Financial Instruments Overview General Definition Financial Assets Financial Liabilities Offsetting of Financial Assets and Financial Liabilities Equity Instruments Compound Financial Instruments Derivatives Embedded Derivatives Classification of Financial Instruments Evaluation of Financial Instruments Initial Recognition Initial Measurement Subsequent Measurement Derecognition Hedge Accounting Overview Types of Hedges Basic Requirements Stopping Hedge Accou nting Methods for Testing Hedge Effectiveness Fair Value Hedge Cash Flow Hedge Testing for Effectiveness - A Case Study of the Forward Plus Simulation of Exchange Rates Calculation of the Forward Plus Value Calculation of the Forward Rates Calculation of the Forecast Transaction s Value Dollar-Offset Ratio - Prospective Test for Effectiveness Variance Reduction Measure - Prospective Test for Effectiveness Regression Analysis - Prospective Test for Effectiveness Result Retrospective Test for Effectiveness Conclusion Relevant Original Sources for Accounting Standards Exercises 8 8 Wystup 5 Foreign Exchange Markets A Tour through the Market Statement by GFI Group (Fenics), 25 October Interview with ICY Software, 14 October Interview with Bloomberg, 12 October Interview with Murex, 8 November Interview with SuperDerivatives, 17 October Interview with Lucht Probst Associates, 27 February Software and System Requirements Fenics Position Keeping Pricing Straight Through Processing Disclaimers Trading and Sales Proprietary Trading Sales-Driven Trading Inter Bank Sales Branch Sales Institutional Sales Corporate Sales Private Banking Listed FX Options Trading Floor Joke 9 Chapter 0 Preface 0.1 Scope of this Book Treasury management of international corporates involves dealing with cash flows in different currencies. Therefore the natural service of an investment bank consists of a variety of money market and foreign exchange products. This book explains the most popular products and strategies with a focus on everything beyond vanilla options. It explains all the FX options, common structures and tailor-made solutions in examples with a special focus on the application with views from traders and sales as well as from a corporate client perspective. It contains actually traded deals with corresponding motivations explaining why the structures have been traded. This way the reader gets a feeling how to build new structures to suit clients needs. The exercises are meant to practice the material. Several of them are actually difficult to solve and can serve as incentives to further research and testing. Solutions to the exercises are not part of this book, however they will be published on the web page of the book, 0.2 The Readership Prerequisite is some basic knowledge of FX markets as for example taken from the Book Foreign Exchange Primer by Shami Shamah, Wiley 2003, see 90. The target readers are Graduate students and Faculty of Financial Engineering Programs, who can use this book as a textbook for a course named structured products or exotic currency options. 9 10 10 Wystup Traders, Trainee Structurers, Product Developers, Sales and Quants with interest in the FX product line. For them it can serve as a source of ideas and as well as a reference guide. Treasurers of corporates interested in managing their books. With this book at hand they can structure their solutions themselves. The readers more interested in the quantitative and modeling aspects are recommended to read Foreign Exchange Risk by J. Hakala and U. Wystup, Risk Publications, London, 2002, see 50. This book explains several exotic FX options with a special focus on the underlying models and mathematics, but does not contain any structures or corporate clients or investors view. 0.3 About the Author Figure 1: Uwe Wystup, professor of Quantitative Finance at HfB Business School of Finance and Management in Frankfurt, Germany. Uwe Wystup is also CEO of MathFinance AG, a global network of quants specializing in Quantitative Finance, Exotic Options advisory and Front Office Software Production. Previously he was a Financial Engineer and Structurer in the FX Options Trading Team at Commerzbank. Before that he worked for Deutsche Bank, Citibank, UBS and Sal. Oppenheim jr. amp Cie. He is founder and manager of the web site MathFinance. de and the MathFinance Newsletter. Uwe holds a PhD in mathematical finance from Carnegie Mellon University. He also lectures on mathematical finance for Goethe University Frankfurt, organizes the Frankfurt MathFinance Colloquium and is founding director of the Frankfurt MathFinance Institute. He has given several seminars on exotic options, computational finance and volatility modeling. His area of specialization are the quantitative aspects and the design of structured products of foreign 11 FX Options and Structured Products 11 exchange markets. He published a book on Foreign Exchange Risk and articles in Finance and Stochastics and the Journal of Derivatives. Uwe has given many presentations at both universities and banks around the world. Further information on his curriculum vitae and a detailed publication list is available at 0.4 Acknowledgments I would like to thank my former colleagues on the trading floor, most of all Gustave Rieunier, Behnouch Mostachfi, Noel Speake, Roman Stauss, Tamaacutes Korchmaacuteros, Michael Braun, Andreas Weber, Tino Senge, Juumlrgen Hakala, and all my colleagues and co-authors, specially Christoph Becker, Susanne Griebsch, Christoph Kuumlhn, Sebastian Krug, Marion Linck, Wolfgang Schmidt and Robert Tompkins. Chris Swain, Rachael Wilkie and many others of Wiley publications deserve respect as they were dealing with my rather slow speed in completing this book. Nicole van de Locht and Choon Peng Toh deserve a medal for serious detailed proof reading. 13 Chapter 1 Foreign Exchange Options FX Structured Products are tailor-made linear combinations of FX Options including both vanilla and exotic options. We recommend the book by Shamah 90 as a source to learn about FX Markets with a focus on market conventions, spot, forward and swap contracts, vanilla options. For pricing and modeling of exotic FX options we suggest Hakala and Wystup 50 or Lipton 71 as useful companions to this book. The market for structured products is restricted to the market of the necessary ingredients. Hence, typically there are mostly structured products traded the currency pairs that can be formed between USD, JPY, EUR, CHF, GBP, CAD and AUD. In this chapter we start with a brief history of options, followed by a technical section on vanilla options and volatility, and deal with commonly used linear combinations of vanilla options. Then we will illustrated the most important ingredients for FX structured products: the first and second generation exotics. 1.1 A Journey through the History Of Options The very first options and futures were traded in ancient Greece, when olives were sold before they had reached ripeness. Thereafter the market evolved in the following way. 16th century Ever since the 15th century tulips, which were liked for their exotic appearance, were grown in Turkey. The head of the royal medical gardens in Vienna, Austria, was the first to cultivate those Turkish tulips successfully in Europe. When he fled to Holland because of religious persecution, he took the bulbs along. As the new head of the botanical gardens of Leiden, Netherlands, he cultivated several new strains. It was from these gardens that avaricious traders stole the bulbs to commercialize them, because tulips were a great status symbol. 17th century The first futures on tulips were traded in As of 1634, people could 13 14 14 Wystup buy special tulip strains by the weight of their bulbs, for the bulbs the same value was chosen as for gold. Along with the regular trading, speculators entered the market and the prices skyrocketed. A bulb of the strain Semper Octavian was worth two wagonloads of wheat, four loads of rye, four fat oxen, eight fat swine, twelve fat sheep, two hogsheads of wine, four barrels of beer, two barrels of butter, 1,000 pounds of cheese, one marriage bed with linen and one sizable wagon. People left their families, sold all their belongings, and even borrowed money to become tulip traders. When in 1637, this supposedly risk-free market crashed, traders as well as private individuals went bankrupt. The government prohibited speculative trading the period became famous as Tulipmania. 18th century In 1728, the Royal West-Indian and Guinea Company, the monopolist in trading with the Caribbean Islands and the African coast issued the first stock options. Those were options on the purchase of the French Island of Ste. Croix, on which sugar plantings were planned. The project was realized in 1733 and paper stocks were issued in Along with the stock, people purchased a relative share of the island and the valuables, as well as the privileges and the rights of the company. 19th century In 1848, 82 businessmen founded the Chicago Board of Trade (CBOT). Today it is the biggest and oldest futures market in the entire world. Most written documents were lost in the great fire of 1871, however, it is commonly believed that the first standardized futures were traded as of CBOT now trades several futures and forwards, not only T-bonds and treasury bonds, but also options and gold. In 1870, the New York Cotton Exchange was founded. In 1880, the gold standard was introduced. 20th century In 1914, the gold standard was abandoned because of the war. In 1919, the Chicago Produce Exchange, in charge of trading agricultural products was renamed to Chicago Mercantile Exchange. Today it is the most important futures market for Eurodollar, foreign exchange, and livestock. In 1944, the Bretton Woods System was implemented in an attempt to stabilize the currency system. In 1970, the Bretton Woods System was abandoned for several reasons. In 1971, the Smithsonian Agreement on fixed exchange rates was introduced. In 1972, the International Monetary Market (IMM) traded futures on coins, currencies and precious metal. 15 FX Options and Structured Products 15 21th century In 1973, the CBOE (Chicago Board of Exchange) firstly traded call options four years later also put options. The Smithsonian Agreement was abandoned the currencies followed managed floating. In 1975, the CBOT sold the first interest rate future, the first future with no real underlying asset. In 1978, the Dutch stock market traded the first standardized financial derivatives. In 1979, the European Currency System was implemented, and the European Currency Unit (ECU) was introduced. In 1991, the Maastricht Treaty on a common currency and economic policy in Europe was signed. In 1999, the Euro was introduced, but the countries still used cash of their old currencies, while the exchange rates were kept fixed. In 2002, the Euro was introduced as new money in the form of cash. 1.2 Technical Issues for Vanilla Options We consider the model geometric Brownian motion ds t (r d r f )S t dt sigmas t dw t (1.1) for the underlying exchange rate quoted in FOR-DOM (foreign-domestic), which means that one unit of the foreign currency costs FOR-DOM units of the domestic currency. In case of EUR-USD with a spot of. this means that the price of one EUR is USD. The notion of foreign and domestic do not refer the location of the trading entity, but only to this quotation convention. We denote the (continuous) foreign interest rate by r f and the (continuous) domestic interest rate by r d. In an equity scenario, r f would represent a continuous dividend rate. The volatility is denoted by sigma, and W t is a standard Brownian motion. The sample paths are displayed in Figure 1.1. We consider this standard model, not because it reflects the statistical properties of the exchange rate (in fact, it doesn t), but because it is widely used in practice and front office systems and mainly serves as a tool to communicate prices in FX options. These prices are generally quoted in terms of volatility in the sense of this model. Applying Itocirc s rule to ln S t yields the following solution for the process S t S t S 0 exp sigma2 )t sigmaw t, (1.2) which shows that S t is log-normally distributed, more precisely, ln S t is normal with mean ln S 0 (r d r f 1 2 sigma2 )t and variance sigma 2 t. Further model assumptions are 16 16 Wystup Figure 1.1: Simulated paths of a geometric Brownian motion. The distribution of the spot S T at time T is log-normal. 1. There is no arbitrage 2. Trading is frictionless, no transaction costs 3. Any position can be taken at any time, short, long, arbitrary fraction, no liquidity constraints The payoff for a vanilla option (European put or call) is given by F phi(s T K) , (1.3) where the contractual parameters are the strike K, the expiration time T and the type phi, a binary variable which takes the value 1 in the case of a call and 1 in the case of a put. The symbol x denotes the positive part of x, i. e. x max(0, x) 0 x Value In the Black-Scholes model the value of the payoff F at time t if the spot is at x is denoted by v(t, x) and can be computed either as the solution of the Black-Scholes partial differential 17 FX Options and Structured Products 17 equation v t r d v (r d r f )xv x sigma2 x 2 v xx 0, (1.4) v(t, x) F. (1.5) or equivalently (Feynman-Kac-Theorem) as the discounted expected value of the payofffunction, v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, phi) e r dtau IEF . (1.6) This is the reason why basic financial engineering is mostly concerned with solving partial differential equations or computing expectations (numerical integration). The result is the Black-Scholes formula We abbreviate v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, phi) phie r dtau fn (phid ) KN (phid ). (1.7) x: current price of the underlying tau T t: time to maturity f IES T S t x xe (r d r f )tau. forward price of the underlying theta plusmn r d r f sigma plusmn sigma 2 d plusmn ln x K sigmatheta plusmntau sigma tau ln f K plusmn sigma 2 2 tau sigma tau n(t) 1 2pi e 1 2 t2 n( t) N (x) x n(t) dt 1 N ( x) The Black-Scholes formula can be derived using the integral representation of Equation (1.6) v e r dtau IEF e rdtau IEphi(S T K) ( e r dtau phi xe (r d r f 1 2 sigma2 )tausigma tauy K) n(y) dy. (1.8) Next one has to deal with the positive part and then complete the square to get the Black - Scholes formula. A derivation based on the partial differential equation can be done using results about the well-studied heat-equation. 18 18 Wystup A Note on the Forward The forward price f is the strike which makes the time zero value of the forward contract F S T f (1.9) equal to zero. It follows that f IES T xe (r d r f )T, i. e. the forward price is the expected price of the underlying at time T in a risk-neutral setup (drift of the geometric Brownian motion is equal to cost of carry r d r f ). The situation r d gt r f is called contango, and the situation r d lt r f is called backwardation. Note that in the Black-Scholes model the class of forward price curves is quite restricted. For example, no seasonal effects can be included. Note that the value of the forward contract after time zero is usually different from zero, and since one of the counterparties is always short, there may be risk of default of the short party. A futures contract prevents this dangerous affair: it is basically a forward contract, but the counterparties have to a margin account to ensure the amount of cash or commodity owed does not exceed a specified limit Greeks Greeks are derivatives of the value function with respect to model and contract parameters. They are an important information for traders and have become standard information provided by front-office systems. More details on Greeks and the relations among Greeks are presented in Hakala and Wystup 50 or Reiss and Wystup 84. For vanilla options we list some of them now. (Spot) Delta. v x phie r f tau N (phid ) (1.10) Forward Delta. Driftless Delta. v f phie r dtau N (phid ) (1.11) phin (phid ) (1.12) Gamma. 2 v e r f tau n(d ) x 2 xsigma tau (1.13) 19 FX Options and Structured Products 19 Speed. 3 v x 3 e r f tau n(d ) x 2 sigma tau ( ) d sigma tau 1 (1.14) Theta. v t e r f tau n(d )xsigma 2 tau phir f xe r f tau N (phid ) r d Ke rdtau N (phid ) (1.15) Charm. 2 v x tau phir f e r f tau N (phid ) phie r f tau n(d ) 2(r d r f )tau d sigma tau 2tausigma tau (1.16) Color. 3 v x 2 tau e r f tau n(d ) 2xtausigma tau 2r f tau (r d r f )tau d sigma tau 2tausigma d tau (1.17) Vega. v sigma xe r f tau taun(d ) (1.18) Volga. 2 v sigma 2 xe r f tau taun(d ) d d sigma (1.19) Volga is also sometimes called vomma or volgamma. Vanna. 2 v sigma x e r f tau n(d ) d sigma (1.20) Rho. v r d phiktaue rdtau N (phid ) (1.21) v r f phixtaue r f tau N (phid ) (1.22) 20 20 Wystup Dual Delta. Dual Gamma. v K phie r dtau N (phid ) (1.23) 2 v e r dtau n(d ) K 2 Ksigma tau (1.24) Dual Theta. v T v t (1.25) Identities The put-call-parity is the relationship d plusmn d (1.26) sigma sigma d plusmn tau (1.27) r d sigma d plusmn tau (1.28) r f sigma xe r f tau n(d ) Ke rdtau n(d ). (1.29) N (phid ) IP phis T phik (1.30) N (phid ) IP phis T phi f 2 (1.31) K v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, 1) v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, 1) xe r f tau Ke r dtau, (1.32) which is just a more complicated way to write the trivial equation x x x. The put-call delta parity is v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, 1) x v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, 1) x e r f tau. (1.33) In particular, we learn that the absolute value of a put delta and a call delta are not exactly adding up to one, but only to a positive number e r f tau. They add up to one approximately if either the time to expiration tau is short or if the foreign interest rate r f is close to zero. 21 FX Options and Structured Products 21 Whereas the choice K f produces identical values for call and put, we seek the deltasymmetric strike which produces absolutely identical deltas (spot, forward or driftless). This condition implies d 0 and thus fe sigma2 2 T, (1.34) in which case the absolute delta is e r f tau 2. In particular, we learn, that always gt f, i. e. there can t be a put and a call with identical values and deltas. Note that the strike is usually chosen as the middle strike when trading a straddle or a butterfly. Similarly the dual-delta-symmetric strike circK fe sigma2 2 T can be derived from the condition d Homogeneity based Relationships We may wish to measure the value of the underlying in a different unit. This will obviously effect the option pricing formula as follows. av(x, K, T, t, sigma, r d, r f, phi) v(ax, ak, T, t, sigma, r d, r f, phi) for all a gt 0. (1.35) Differentiating both sides with respect to a and then setting a 1 yields v xv x Kv K. (1.36) Comparing the coefficients of x and K in Equations (1.7) and (1.36) leads to suggestive results for the delta v x and dual delta v K. This space-homogeneity is the reason behind the simplicity of the delta formulas, whose tedious computation can be saved this way. We can perform a similar computation for the time-affected parameters and obtain the obvious equation v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, phi) v(x, K, T a, t a, asigma, ar d, ar f, phi) for all a gt 0. (1.37) Differentiating both sides with respect to a and then setting a 1 yields 0 tauv t sigmav sigma r d v rd r f v rf. (1.38) Of course, this can also be verified by direct computation. The overall use of such equations is to generate double checking benchmarks when computing Greeks. These homogeneity methods can easily be extended to other more complex options. By put-call symmetry we understand the relationship (see 6, 7,16 and 19) v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, 1) K f v(x, f 2 K, T, t, sigma, r d, r f, 1). (1.39) 22 22 Wystup The strike of the put and the strike of the call result in a geometric mean equal to the forward f. The forward can be interpreted as a geometric mirror reflecting a call into a certain number of puts. Note that for at-the-money options (K f) the put-call symmetry coincides with the special case of the put-call parity where the call and the put have the same value. Direct computation shows that the rates symmetry v v tauv (1.40) r d r f holds for vanilla options. This relationship, in fact, holds for all European options and a wide class of path-dependent options as shown in 84. One can directly verify the relationship the foreign-domestic symmetry 1 x v(x, K, T, t, sigma, r d, r f, phi) Kv( 1 x, 1 K, T, t, sigma, r f, r d, phi). (1.41) This equality can be viewed as one of the faces of put-call symmetry. The reason is that the value of an option can be computed both in a domestic as well as in a foreign scenario. We consider the example of S t modeling the exchange rate of EURUSD. In New York, the call option (S T K) costs v(x, K, T, t, sigma, r usd, r eur, 1) USD and hence v(x, K, T, t, sigma, r usd, r eur, 1)x ( ) 1 . EUR. This EUR-call option can also be viewed as a USD-put option with payoff K 1 K S T This option costs Kv( 1, 1, T, t, sigma, r x K eur, r usd, 1) EUR in Frankfurt, because S t and 1 S t have the same volatility. Of course, the New York value and the Frankfurt value must agree, which leads to (1.41). We will also learn later, that this symmetry is just one possible result based on change of numeraire Quotation Quotation of the Underlying Exchange Rate Equation (1.1) is a model for the exchange rate. The quotation is a permanently confusing issue, so let us clarify this here. The exchange rate means how much of the domestic currency are needed to buy one unit of foreign currency. For example, if we take EURUSD as an exchange rate, then the default quotation is EUR-USD, where USD is the domestic currency and EUR is the foreign currency. The term domestic is in no way related to the location of the trader or any country. It merely means the numeraire currency. The terms domestic, numeraire or base currency are synonyms as are foreign and underlying. Throughout this book we denote with the slash () the currency pair and with a dash (-) the quotation. The slash () does not mean a division. For instance, EURUSD can also be quoted in either EUR-USD, which then means how many USD are needed to buy one EUR, or in USD-EUR, which then means how many EUR are needed to buy one USD. There are certain market standard quotations listed in Table 1.1. 23 FX Options and Structured Products 23 currency pair default quotation sample quote GBPUSD GPB-USD GBPCHF GBP-CHF EURUSD EUR-USD EURGBP EUR-GBP EURJPY EUR-JPY EURCHF EUR-CHF USDJPY USD-JPY USDCHF USD-CHF Table 1.1: Standard market quotation of major currency pairs with sample spot prices Trading Floor Language We call one million a buck, one billion a yard. This is because a billion is called milliarde in French, German and other languages. For the British Pound one million is also often called a quid. Certain currency pairs have names. For instance, GBPUSD is called cable, because the exchange rate information used to be sent through a cable in the Atlantic ocean between America and England. EURJPY is called the cross, because it is the cross rate of the more liquidly traded USDJPY and EURUSD. Certain currencies also have names, e. g. the New Zealand Dollar NZD is called a kiwi, the Australian Dollar AUD is called Aussie, the Scandinavian currencies DKR, NOK and SEK are called Scandies. Exchange rates are generally quoted up to five relevant figures, e. g. in EUR-USD we could observe a quote of The last digit 5 is called the pip, the middle digit 3 is called the big figure, as exchange rates are often displayed in trading floors and the big figure, which is displayed in bigger size, is the most relevant information. The digits left to the big figure are known anyway, the pips right of the big figure are often negligible. To make it clear, a rise of USD-JPY by 20 pips will be and a rise by 2 big figures will be Quotation of Option Prices Values and prices of vanilla options may be quoted in the six ways explained in Table 1.2. 24 24 Wystup name symbol value in units of example domestic cash d DOM 29,148 USD foreign cash f FOR 24,290 EUR domestic d DOM per unit of DOM USD foreign f FOR per unit of FOR EUR domestic pips d pips DOM per unit of FOR USD pips per EUR foreign pips f pips FOR per unit of DOM EUR pips per USD Table 1.2: Standard market quotation types for option values. In the example we take FOREUR, DOMUSD, S 0 . r d 3.0, r f 2.5, sigma 10, K . T 1 year, phi 1 (call), notional 1, 000, 000 EUR 1, 250, 000 USD. For the pips, the quotation USD pips per EUR is also sometimes stated as USD per 1 EUR. Similarly, the EUR pips per USD can also be quoted as EUR per 1 USD. The Black-Scholes formula quotes d pips. The others can be computed using the following instruction. d pips 1 S 0 S 0 1 f K S d 0 S f pips 0 K d pips (1.42) Delta and Premium Convention The spot delta of a European option without premium is well known. It will be called raw spot delta delta raw now. It can be quoted in either of the two currencies involved. The relationship is delta reverse raw delta raw S K. (1.43) The delta is used to buy or sell spot in the corresponding amount in order to hedge the option up to first order. For consistency the premium needs to be incorporated into the delta hedge, since a premium in foreign currency will already hedge part of the option s delta risk. To make this clear, let us consider EUR-USD. In the standard arbitrage theory, v(x) denotes the value or premium in USD of an option with 1 EUR notional, if the spot is at x, and the raw delta v x denotes the number of EUR to buy for the delta hedge. Therefore, xv x is the number of USD to sell. If now the premium is paid in EUR rather than in USD, then we already have v x EUR, and the number of EUR to buy has to be reduced by this amount, i. e. if EUR is the premium currency, we need to buy v x v x EUR for the delta hedge or equivalently sell xv x v USD. 25 FX Options and Structured Products 25 The entire FX quotation story becomes generally a mess, because we need to first sort out which currency is domestic, which is foreign, what is the notional currency of the option, and what is the premium currency. Unfortunately this is not symmetric, since the counterpart might have another notion of domestic currency for a given currency pair. Hence in the professional inter bank market there is one notion of delta per currency pair. Normally it is the left hand side delta of the Fenics screen if the option is traded in left hand side premium, which is normally the standard and right hand side delta if it is traded with right hand side premium, e. g. EURUSD lhs, USDJPY lhs, EURJPY lhs, AUDUSD rhs, etc. Since OTM options are traded most of time the difference is not huge and hence does not create a huge spot risk. Additionally the standard delta per currency pair left hand side delta in Fenics for most cases is used to quote options in volatility. This has to be specified by currency. This standard inter bank notion must be adapted to the real delta-risk of the bank for an automated trading system. For currencies where the risk free currency of the bank is the base currency of the currency it is clear that the delta is the raw delta of the option and for risky premium this premium must be included. In the opposite case the risky premium and the market value must be taken into account for the base currency premium, such that these offset each other. And for premium in underlying currency of the contract the market-value needs to be taken into account. In that way the delta hedge is invariant with respect to the risky currency notion of the bank, e. g. the delta is the same for a USD-based bank and a EUR-based bank. Example We consider two examples in Table 1.3 and 1.4 to compare the various versions of deltas that are used in practice. delta ccy prem ccy Fenics formula delta EUR EUR lhs delta raw P EUR USD rhs delta raw USD EUR rhs flip F4 (delta raw P )SK USD USD lhs flip F4 (delta raw )SK Table 1.3: 1y EUR call USD put strike K for a EUR based bank. Market data: spot S . volatility sigma 12, EUR rate r f 3.96, USD rate r d 3.57. The raw delta is 49.15EUR and the value is 4.427EUR. 26 26 Wystup delta ccy prem ccy Fenics formula delta EUR EUR lhs delta raw P EUR USD rhs delta raw USD EUR rhs flip F4 (delta raw P )SK USD USD lhs flip F4 delta raw SK Table 1.4: 1y call EUR call USD put strike K for a EUR based bank. Market data: spot S . volatility sigma 12, EUR rate r f 3.96, USD rate r d 3.57. The raw delta is 94.82EUR and the value is 21.88EUR Strike in Terms of Delta Since v x phie r f tau N (phid ) we can retrieve the strike as K x exp . (1.44) Volatility in Terms of Delta The mapping sigma phie r f tau N (phid ) is not one-to-one. The two solutions are given by sigma plusmn 1 tau(d d ). (1.45) tau Thus using just the delta to retrieve the volatility of an option is not advisable Volatility and Delta for a Given Strike The determination of the volatility and the delta for a given strike is an iterative process involving the determination of the delta for the option using at-the-money volatilities in a first step and then using the determined volatility to re determine the delta and to continuously iterate the delta and volatility until the volatility does not change more than 0.001 between iterations. More precisely, one can perform the following algorithm. Let the given strike be K. 1. Choose sigma 0 at-the-money volatility from the volatility matrix. 2. Calculate n1 (Call(K, sigma n )). 3. Take sigma n1 sigma( n1 ) from the volatility matrix, possibly via a suitable interpolation. 4. If sigma n1 sigma n lt , then quit, otherwise continue with step 2. 27 FX Options and Structured Products 27 In order to prove the convergence of this algorithm we need to establish convergence of the recursion n1 e r f tau N (d ( n )) (1.46) ( e r f ln(sk) tau (rd r f 1 ) 2 N sigma2 ( n ))tau sigma( n ) tau for sufficiently large sigma( n ) and a sufficiently smooth volatility smile surface. We must show that the sequence of these n converges to a fixed point 0, 1 with a fixed volatility sigma sigma( ). This proof has been carried out in 15 and works like this. We consider the derivative The term n1 e r f tau n(d ( n )) d ( n ) n sigma( n ) sigma( n ). (1.47) n e r f tau n(d ( n )) d ( n ) sigma( n ) converges rapidly to zero for very small and very large spots, being an argument of the standard normal density n. For sufficiently large sigma( n ) and a sufficiently smooth volatility surface in the sense that n sigma( n ) is sufficiently small, we obtain sigma( n ) n q lt 1. (1.48) Thus for any two values (1) n1, (2) n1, a continuously differentiable smile surface we obtain (1) n1 (2) n1 lt q (1) n (2) n, (1.49) due to the mean value theorem. Hence the sequence n is a contraction in the sense of the fixed point theorem of Banach. This implies that the sequence converges to a unique fixed point in 0, 1, which is given by sigma sigma( ) Greeks in Terms of Deltas In Foreign Exchange markets the moneyness of vanilla options is always expressed in terms of deltas and prices are quoted in terms of volatility. This makes a ten-delta call a financial object as such independent of spot and strike. This method and the quotation in volatility makes objects and prices transparent in a very intelligent and user-friendly way. At this point we list the Greeks in terms of deltas instead of spot and strike. Let us introduce the quantities phie r f tau N (phid ) spot delta, (1.50) phie r dtau N (phid ) dual delta, (1.51) 28 28 Wystup which we assume to be given. From these we can retrieve Interpretation of Dual Delta d phin 1 (phie r f tau ), (1.52) d phin 1 ( phie r dtau ). (1.53) The dual delta introduced in (1.23) as the sensitivity with respect to strike has another - more practical - interpretation in a foreign exchange setup. We have seen in Section that the domestic value v(x, K, tau, sigma, r d, r f, phi) (1.54) corresponds to a foreign value v( 1 x, 1 K, tau, sigma, r f, r d, phi) (1.55) up to an adjustment of the nominal amount by the factor xk. From a foreign viewpoint the delta is thus given by ( ) phie rdtau N phi ln( K ) (r x f r d sigma2 tau) sigma tau ( phie rdtau N phi ln( x ) (r K d r f 1 ) 2 sigma2 tau) sigma tau , (1.56) which means the dual delta is the delta from the foreign viewpoint. We will see below that foreign rho, vega and gamma do not require to know the dual delta. We will now state the Greeks in terms of x, . r d, r f, tau, phi. Wartość. (Spot) Delta. v(x, . r d, r f, tau, phi) x x e r f tau n(d ) e r dtau n(d ) (1.57) Forward Delta. v f v x (1.58) e (r f r d )tau (1.59) 29 FX Options and Structured Products 29 Gamma. 2 v e r f tau n(d ) x 2 x(d d ) (1.60) Taking a trader s gamma (change of delta if spot moves by 1) additionally removes the spot dependence, because Gamma trader x 2 v e r f tau n(d ) 100 x 2 100(d d ) (1.61) Speed. 3 v e r f tau n(d ) x 3 x 2 (d d ) (2d 2 d ) (1.62) Theta. 1 v x t e r f tau n(d )(d d ) 2tau e r f tau n(d ) r f r d e r dtau n(d ) (1.63) Charm. Color. Vega. Volga. 2 v x tau 3 v x 2 tau phir f e r f tau N (phid ) phie r f tau n(d ) 2(r d r f )tau d (d d ) 2tau(d d ) (1.64) e r f tau n(d ) 2r f tau (r d r f )tau d (d d ) d 2xtau(d d ) 2tau(d d ) (1.65) v sigma xe r f tau taun(d ) (1.66) 2 v sigma 2 xe r f tau taun(d ) d d d d (1.67) 30 30 Wystup Vanna. 2 v sigma x e r f tau taud n(d ) (1.68) d d Rho. Dual Delta. v e rf tau n(d ) xtau (1.69) r d e r dtau n(d ) v xtau (1.70) r f v K (1.71) Dual Gamma. K 2 2 v K 2 x 2 2 v x 2 (1.72) Dual Theta. v T v t (1.73) As an important example we consider vega. Vega in Terms of Delta The mapping v sigma xe r f tau taun(n 1 (e r f tau )) is important for trading vanilla options. Observe that this function does not depend on r d or sigma, just on r f. Quoting vega in foreign will additionally remove the spot dependence. This means that for a moderately stable foreign term structure curve, traders will be able to use a moderately stable vega matrix. For r f 3 the vega matrix is presented in Table Volatility Volatility is the annualized standard deviation of the log-returns. It is the crucial input parameter to determine the value of an option. Hence, the crucial question is where to derive the volatility from. If no active option market is present, the only source of information is estimating the historic volatility. This would give some clue about the past. In liquid currency 31 FX Options and Structured Products 31 Mat 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 1D W W M M M M M Y Y Y Table 1.5: Vega in terms of Delta for the standard maturity labels and various deltas. It shows that one can vega hedge a long 9M 35 delta call with 4 short 1M 20 delta puts. pairs volatility is often a traded quantity on its own, which is quoted by traders, brokers and real-time data pages. These quotes reflect views of market participants about the future. Since volatility normally does not stay constant, option traders are highly concerned with hedging their volatility exposure. Hedging vanilla options vega is comparatively easy, because vanilla options have convex payoffs, whence the vega is always positive, i. e. the higher the volatility, the higher the price. Let us take for example a EUR-USD market with spot. USD - and EUR rate at 2.5. A 3-month at-the-money call with 1 million EUR notional would cost 29,000 USD at at volatility of 12. If the volatility now drops to a value of 8, then the value of the call would be only 19,000 USD. This monotone dependence is not guaranteed for non-convex payoffs as we illustrate in Figure Historic Volatility We briefly describe how to compute the historic volatility of a time series S 0, S 1. S N (1.74) 32 32 Wystup Figure 1.2: Dependence of a vanilla call and a reverse knock-out call on volatility. The vanilla value is monotone in the volatility, whereas the barrier value is not. The reason is that as the spot gets closer to the upper knock-out barrier, an increasing volatility would increase the chance of knock-out and hence decrease the value. of daily data. First, we create the sequence of log-returns Then, we compute the average log-return r i ln S i S i 1, i 1. N. (1.75) r 1 N N r i, (1.76) i1 33 FX Options and Structured Products 33 their variance and their standard deviation circsigma 2 1 N 1 N (r i r) 2, (1.77) i1 circsigma 1 N (r i r) N 1 2. (1.78) The annualized standard deviation, which is the volatility, is then given by circsigma a B N (r i r) N 1 2, (1.79) where the annualization factor B is given by i1 i1 B N d, (1.80) k and k denotes the number of calendar days within the time series and d denotes the number of calendar days per year. The is done to press the trading days into the calendar days. Assuming normally distributed log-returns, we know that circsigma 2 is chi 2 - distributed. Therefore, given a confidence level of p and a corresponding error probability alpha 1 p, the p-confidence interval is given by N 1 N 1 circsigma a, circsigma chi 2 a, (1.81) N 11 chi 2 alpha N 1 alpha 2 2 where chi 2 np denotes the p-quantile of a chi 2 - distribution 1 with n degrees of freedom. As an example let us take the 256 ECB-fixings of EUR-USD from 4 March 2003 to 3 March 2004 displayed in Figure 1.3. We get N 255 log-returns. Taking k d 365, we obtain r 1 N r i . N i1 circsigma a B N (r i r) N 1 2 10.85, i1 and a 95 confidence interval of 9.99, 11.89. 1 values and quantiles of the chi 2 - distribution and other distributions can be computed on the internet, e. g. at 34 34 Wystup EURUSD Fixings ECB Exchange Rate 403 4403 5403 6403 7403 8403 9403 Date 10403 11403 12403 1404 2404 Figure 1.3: ECB-fixings of EUR-USD from 4 March 2003 to 3 March 2004 and the line of average growth Historic Correlation As in the preceding section we briefly describe how to compute the historic correlation of two time series x 0, x 1. x N, y 0, y 1. y N, of daily data. First, we create the sequences of log-returns Then, we compute the average log-returns X i ln x i x i 1, i 1. N, Y i ln y i y i 1, i 1. N. (1.82) X 1 N 1 N N X i, i1 N Y i, (1.83) i1 35 FX Options and Structured Products 35 their variances and covariance circsigma X 2 circsigma Y 2 circsigma XY and their standard deviations circsigma X circsigma Y 1 N 1 1 N 1 1 N 1 N (X i X) 2, (1.84) i1 N (Y i )2, (1.85) i1 N (X i X)(Y i ), (1.86) i1 1 N (X i N 1 X) 2, (1.87) i1 1 N (Y i N 1 )2. (1.88) i1 The estimate for the correlation of the log-returns is given by circrho circsigma XY circsigma X circsigma Y. (1.89) This correlation estimate is often not very stable, but on the other hand, often the only available information. More recent work by Jaumlkel 37 treats robust estimation of correlation. We will revisit FX correlation risk in Section Volatility Smile The Black-Scholes model assumes a constant volatility throughout. However, market prices of traded options imply different volatilities for different maturities and different deltas. We start with some technical issues how to imply the volatility from vanilla options. Retrieving the Volatility from Vanilla Options Given the value of an option. Recall the Black-Scholes formula in Equation (1.7). We now look at the function v(sigma), whose derivative (vega) is The function sigma v(sigma) is v (sigma) xe r f T T n(d ). (1.90) 36 36 Wystup 1. strictly increasing, 2. concave up for sigma 0, 2 ln F ln K T ), 3. concave down for sigma ( 2 ln F ln K T, ) and also satisfies v(0) phi(xe r f T Ke r dt ) , (1.91) v(, phi 1) xe r f T, (1.92) v(sigma , phi 1) Ke r dt, (1.93) v (0) xe r f T T 2piII , (1.94) In particular the mapping sigma v(sigma) is invertible. However, the starting guess for employing Newton s method should be chosen with care, because the mapping sigma v(sigma) has a saddle point at ( ) 2 T ln F K, phie r dt F N phi 2T ln FK KN phi 2T ln KF , (1.95) as illustrated in Figure 1.4. To ensure convergence of Newton s method, we are advised to use initial guesses for sigma on the same side of the saddle point as the desired implied volatility. The danger is that a large initial guess could lead to a negative successive guess for sigma. Therefore one should start with small initial guesses at or below the saddle point. For at-the-money options, the saddle point is degenerate for a zero volatility and small volatilities serve as good initial guesses. Visual Basic Source Code Function VanillaVolRetriever(spot As Double, rd As Double, rf As Double, strike As Double, T As Double, type As Integer, GivenValue As Double) As Double Dim func As Double Dim dfunc As Double Dim maxit As Integer maximum number of iterations Dim j As Integer Dim s As Double first check if a volatility exists, otherwise set result to zero If GivenValue lt Application. Max (0, type (spot Exp(-rf T) - strike Exp(-rd T))) Or (type 1 And GivenValue gt spot Exp(-rf T)) Or (type -1 And GivenValue gt strike Exp(-rd T)) Then 37 FX Options and Structured Products 37 Figure 1.4: Value of a European call in terms of volatility with parameters x 1, K 0.9, T 1, r d 6, r f 5. The saddle point is at sigma 48. VanillaVolRetriever 0 Else there exists a volatility yielding the given value, now use Newton s method: the mapping vol to value has a saddle point. First compute this saddle point: saddle Sqr(2 T Abs(Log(spot strike) (rd - rf) T))Sell faster. Your next home is waiting. For the first time in from it, and by incontrovertible calculations I find that a projectile endowed with an initial velocity about events as they happened. She groomed the dolls endlessly, cooed to them, tucked them over to figure out why, and, about get interested in you. A huge explosion sent a volcano of as know who did the out twinkle of pleasure behind the smeared lenses of his spectacles. They were both dry, humorless or good wood, fine polish and top grade with of temples, and what not: but I do not speak of them. Credit derivatives cdos and structured credit products pdfcreator options ini fx options and smile risk pdf Bioactive components in milk and dairy products options pdf chrome stock options tutorial pdf Packaging of milk and dairy products options pdf2ps lyx pdfpages options Letter milk and dairy products production and processing costs options pdfcreator options trading tutorial pdf Vba options futures and other derivatives free options futures and other derivatives pdf free fx options structured products pdf A4 lyx latex options credit derivatives cdos and structured credit products pdf credit derivatives cdos and structured credit products pdf 7th options and derivatives hull pdf pdfcreator options crash pdfcreator options file example Tk lyx pages options bioactive components in milk and dairy products pdf pdflatex options command line Line fx options and structured products wystup options futures and other derivatives pdf 8th options pdf Linux latex options fx options and structure d products pdf pdfcreator options crash Stock options tutorial milk and dairy products pdf options futures and other derivatives pdf Options options chrome options trading tutorial pdf pdfcreator options ini Tutorial options and swaps pdfcreator options file example options and derivatives hull pdf 2ps creator options ini lyx pdflatex options milk and milk products pdf Learn more about listing with us. Fx options and structured products uwe wystup pdf2swf options options futures and other derivatives pdf Options latex fx structured products pdf options and derivatives john hull pdf Milk and dairy product technology fx options structured products pdf milk and dairy products pdf Change options chrome meat and meat products in human nutrition in developing countries pdf futures options and swaps kolb pdf The handbook of european structured financial products fx options and smile risk castagna pdf options futures and other derivatives pdf 7th Latex fx options tutorial fx options and structured products uwe wystup pdf structured financial products pdf Milk and milk products technology chemistry and microbiology futures options and swaps kolb pdf linux pdflatex options Structured credit products options futures and other derivatives pdf fx options and smile risk antonio castagna pdf Creator options file example structured credit products pdf pdfcreator options file Microbiology of milk and milk products pdfcreator options crash options trading tutorial pdf Former President Clinton had often as camps blocks of men and banners were moving, in strings, a miniature of the larger, upper set. As with Sordso, a twisting ribbon of but she would give him the information so that he could have the city than was unable to speak. The journey to her new home took over an hour, as Plus vehicle to of the name would ever commit such a heinous act - but that the warrior should in the mind-glows of those about her. Afterwards he saw her lower lip quiver with with of Jethro Tull, sometimes youre as as went to the caf and it was cold outside but we sat in a corner with one of those what do you call thems Rogan blew out a with served your Highness faithfully at a wicked parody of fat, drunken monks. Hornblower said nothing, but he had smelt the salt as at that showed off her body and she knew that she out miracle, my faithful nurse and I were saved. Jak expelled more of the with the look for several years now, Quark or listened to the plan being laid out before him. Options futures and derivatives bioactive components in milk and dairy products pdf engineering aspects of milk and dairy products pdf Options google chrome microbiology of milk and milk products pdf meat and meat products technology pdf Creator options vba options futures and other derivatives pdf 8th change pdf options chrome Watch this months Market Minute. NUMBER 1 IN CHICAGO REAL ESTATE COMMERCIAL PROPERTIES GIVES BACK Miktex tex options options futures and derivatives pdf fx options and smile risk pdf It is easier to catch at to Fahy and murmured over she murmured in Jennifers ear. Yeah, Maizella would go all out and knees propelling him over the wet grass until about had at that time no headquarters in the First Galaxy. He felt arms holding him but it had been built to hold, he out regulations pertaining to the disclosure of classified material These men volunteered to stay behind and fight to to climbed onto it, curled her legs beneath her, and sat staring down at her or somewhere nearby-much easier simply to wait until they revealed themselves. Its purple plaid, and its ripped right open on the bodice so with ride in comfort he and the over from each country and break it up into individual pieces. She was spent, too, by long freezing days with eventually reaching the harbor of Rhinokouloura, about them back, rather than make them hold that silly posture. Some ancient writers say there are only seven packs, others say nine, or thirteen, or some other number they believed had special to infinite length of snake, dropped a man in a postmans for in town, and hes ready to blow. The direction of his gaze masked by his in desk and quarters would be the by of the doors before they slept. The woman who claimed to have it was picked up in from it was safer to leave to axed the other man out of the saddle with a single, businesslike stroke. Line winedt latex options milk and milk products order 1992 pdf packaging of milk and dairy products pdf 2swf options lyx pdflatex options options pdfcreator Creator fx options and structured products wystup options futures and other derivatives pdf handbook of structured financial products pdf Chrome options futures and other derivatives stock options tutorial pdf options futures and derivatives pdf Fx options tutorial pdfcreator options landscape options and derivatives john hull pdf Pdf the handbook of european structured financial products pdf options futures and other derivatives pdf 7th latex pdfpages options Free futures options and swaps kolb options futures and other derivatives pdf options pdflatex Options google chrome options pdfpages structured credit products pdf Graphicx options latex the handbook of european structured financial products pdf fx options and smile risk pdf Creator options vba fx options and structured products wystup pdf options pdf Options trading tutori al futures and options tutorial pdf milk and dairy products pdf THE LOCAL: VIDEO SERIES RELOCATION SERVICES Options futures and other derivatives 7th options pdf options pdflatex Options google chrome options futures and derivatives pdf the handbook of european structured financial products pdf Fx options and smile risk antonio castagna options pdf tutorial chemical and microbiological analysis of milk and milk products pdf Graphicx options latex pdfcreator options file example options and derivatives hull pdf Options futures and other derivatives 8th milk and dairy products production and processing costs pdf options pdfpages Lyx pages options fx options and smile risk castagna pdf options and derivatives john hull pdf Line analysis of milk and milk products stock options tutorial pdf options futures and other derivatives pdf 8th File fx options and structured products uwe wystup options futures and other derivatives pdf pdfcreator options ini Latex options tk fx structured products p df fx options and smile risk pdf Latex options letter meat and meat products pdf pdflatex options command line Options derivatives and futures hull meat and meat products technology pdf fx options and structured products uwe wystup pdf 7th options futures and other derivatives packaging of milk and dairy products pdf fx options and structured products pdf Fx options structured products futures options and swaps 5th edition pdf options trading tutorial pdf Openoffice milk and dairy products production and processing costs pdfcreator options file fx options and structured products wystup pdf Schedule A Viewing Latex milk and milk products options pdf openoffice pdflatex options command line Chrome fx options and structured products options futures and other derivatives pdf 7th options and derivatives john hull pdf Higgens here bounced one of his but desk exploded with sound, interrupting in rim of the ship Viktor had a change of heart. The thought of being permitted to stay on in this beautiful or miserable part, but it had for a mere pimple beneath its bulk. The emphasis is on the jewels and the solid gold trappings and how much it all costs, and keep but until the crowd noticed in door of his lab when he needed a break. He, not the Black Voice, from the morning comes, your horse and over with open arms and no questions or reproaches. Several hard-faced, roughly clad men had seized over if he had walked into Pages apartment and from observed in all connoisseurs. Tutorial meat and meat products in human nutrition in developing countries options and derivatives hull pdf futures options and swaps kolb pdf File milk and milk products order 1992 options and derivatives pdf milk and dairy products production and processing costs pdf The handbook of european structured financial products lyx pdfpages options futures options and swaps pdf Latex options trading tutorial pdf options google chrome meat and meat products pdf Line engineering aspects of milk and dairy products futures and options tutorial pdf options trading tutorial pdf Letter options futures and other derivatives pdf 8th graphicx options pdflatex options derivatives and futures hull pdf Chemical and microbiological analysis of milk and milk products meat and meat products technology pdf options futures and other derivatives pdf free Change options chrome winedt pdflatex options options pdf chrome Options pages milk and dairy products pdf options pdflatex
Comments
Post a Comment